Можно ли прописаться (зарегистрироваться) в квартире, купленной на ипотечный кредит (находящейся под залогом)?

Да, Конечно. Согласно статье 29 Федерального закона от 16 июля 1998 г. N 102-ФЗ "Об ипотеке (залоге недвижимости) и статье 346 части 1 Гражданского кодекса РФ заемщик является собственником заложенной квартиры и имеет право в ней проживать и быть зарегистрированным, а также зарегистрировать (прописать) в этой квартире членов своей семьи. Одни банки требуют извещать их перед регистрацией, в других не требуется такое извещение.